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Project Euler #75

It turns out that 12 cm is the smallest length of wire that can be bent
to form an integer sided right angle triangle in exactly one way,
but there are many more examples.

12 cm: (3,4,5)
24 cm: (6,8,10)
30 cm: (5,12,13)
36 cm: (9,12,15)
40 cm: (8,15,17)
48 cm: (12,16,20)

In contrast, some lengths of wire, like 20 cm, cannot be bent to form
an integer sided right angle triangle, and other lengths allow more than
one solution to be found; for example, using 120 cm it is possible to form
exactly three different integer sided right angle triangles.

120 cm: (30,40,50), (20,48,52), (24,45,51)

Given that L is the length of the wire, for how many values of
L <= 1,500,000 can exactly one integer sided right angle triangle be formed?

Analisi:

Da wikipedia (Pythagorean triple), sappiamo che, dati due interi
‘n’ ed ‘m’, con n > m, possiamo calcolare la lunghezza dei tre lati del
triangolo. E’ importante che ‘n’ ed ‘m’ siano coprimi tra di loro, cioè che
abbiano massimo comune divisore (gcd) = 1 e che m – n sia dispari.
Questo è necessario per avere delle triplette pitagoriche primitive (3,4,5=12).
In caso contrario otterremmo delle triplette non primitive (multiple):
120 = (30,40,50) , (20,48,52), (24,45,51)
come si nota sono tutte triplette i cui ‘lati’ sono multipli dei lati
di triplette primitive;
30, 40, 50 (3, 4, 5)*10
20,48, 52 (5, 12, 13)*4
24, 45, 51 (8, 15, 17)*3
Queste sono le triplette che NON vogliamo contare durante il nostro ciclo.

a = m^2 - n^2
b = 2*m*n
c = m^2 + n^2

python:

import time
from fractions import gcd

st = time.time()


def eu_75(limit):
    lengths = [0] * limit
    for m in range(1, int(limit ** 0.5), 2):
      for n in range(2, int(limit ** 0.5) - m, 2):
        if gcd(m, n) == 1:
          per = abs(n * n - m * m) + (2 * m * n) + (m * m + n * n) # (a) + (b) + (c)
          for p in range(per, limit, per):
            lengths[p] += 1
    return lengths

print "Answer to PE75 = ", eu_75(1500000).count(1)
print time.time() - st
Categorie:Project Euler, python
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