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Project Euler #71

Consider the fraction, n/d, where n and d are positive integers.
If n<d and HCF(n,d)=1, it is called a reduced proper fraction.
If we list the set of reduced proper fractions for d <= 8 in ascending order
of size, we get:
1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3,
 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8
It can be seen that 2/5 is the fraction immediately to the left of 3/7.
By listing the set of reduced proper fractions for d <= 1,000,000
in ascending order of size, find the numerator of the fraction immediately
to the left of 3/7.

Analisi:
Sicuramente per avere un risultato della frazione tendente a 3/7, dovremo
partire comunque dal numero più grande al denominatore, cioè 10^6, dopodichè
trovare quel numeratore per il quale si abbia come risultato una frazione minore
di 3/7. Appena trovata la coppia di numeri con risultato minore e molto vicino a
3/7, controlleremo anche che soddisfi la condizione di avere gcd = 1 (maggiore
comune divisore).

python:

import time
from fractions import gcd
from fractions import Fraction as f

st = time.time()

def euler_71(limit):
    rate = round(float(3)/7, 6)
    for d in xrange(limit, 1, -1): # descending
        for n in xrange(limit/2, 1, -1): # descending
            if round(float(n)/d, 6) < rate:
                fract = f(n, d)
                if gcd(fract.numerator, fract.denominator) == 1:
                    return n

            
print euler_71(1000000)
print time.time() - st

In realtà esiste una soluzione molto più snella, terribilmente semplice:

3/7 = 0.428571

rappresentabile come:

428571/1000000

qual’è quella frazione, appena inferiore alla precedente e quindi prossima a 3/7?
Ecco appunto:

428570/1000000

vediamo se come gcd ci siamo?

python:

>>> from fractions import gcd
>>> from fractions import Fraction as f
>>> fr = f(428570, 1000000)
>>> gcd(fr.numerator, fr.denominator)
1

bingo!

Quindi un sciocca soluzione one-line, potrebbe essere:

>>> (round(float(3)/7, 6)*10**6)-1
428570.0
Categorie:Project Euler, python
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